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2007.IMO.5数论——无穷递降法，与对称性证明技巧。：原文配图

不要向你的欲望让步。

——雅克 拉康

(2007.IMO.6)a,b∈N+,4ab∣(4a2−1)2 (2007.IMO.6)a,b\in \mathbb{N^+},4ab|(4a^2-1)^2

证明:a=b:a=b

由题目已知:1≡12≡(4ab)2mod  4ab−1:1\equiv 1^2\equiv (4ab)^2\mod{4ab-1}

∴(4b2−1)2≡(4b2−(4ab)2)2≡16b4(4a2−1)≡0mod  4ab−1 \begin{aligned} & ∴(4b^2-1)^2\equiv (4b^2-(4ab)^2)^2 \\[0.5em] & \equiv 16b^4(4a^2-1)\equiv 0 \mod{4ab-1} \end{aligned}

∴4ab−1∣(4b2−1)2∴4ab-1|(4b^2-1)^2我们得到了对称性

下面考虑无穷递降法反证推出矛盾：

当a<ba<b

先考虑设(4a2−1)24ab−1=S\frac{(4a^2-1)^2}{4ab-1}=S的解(a,b)(a,b)

满足不定方程的最小解(a+b)(a+b)最小。

则S(4ab−1)≡(4a2−1)2mod  4aS(4ab-1)\equiv (4a^2-1)^2 \mod{4a}

4ab≡0,4a2≡0mod  4a 4ab\equiv 0,4a^2\equiv 0 \mod{4a}

所以S≡−1mod  4aS\equiv -1 \mod{4a}

设S=4ac−1S=4ac-1

那么4ac−1=S<4a2−14ac-1=S<4a^2-1

∴c<a<b(4ac−1)(4ab−1)=(4a2−1)2 \begin{aligned} & ∴c<a<b \\[0.5em] & (4ac-1)(4ab-1)=(4a^2-1)^2 \end{aligned}

那么(a,c)(a,c)是比(a,b)(a,b)更小的一组解，矛盾！

当a>ba>b时：由4ab−1∣(4b2−1)24ab-1|(4b^2-1)^2对称性同理得到矛盾

故a=ba=b

证毕。

常规的用无穷递降法证明不定方程无解的套路。

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