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2003.IMO.2数论——无穷递降法的整除性问题应用-放缩。：原文配图

人无法两只脚踏入同一条河流。

——古希腊哲学家 赫拉克利特

(2003.IMO.2)(2003.IMO.2)求所有的正整数对(a,b)(a,b)

使得a22ab2−b3+1∈N+\frac{a^2}{2ab^2-b^3+1}\in \mathbb{N^+}

原命题即为2ab2−b3+1∣a22ab^2-b^3+1|a^2

对于这样复杂的非齐次式，我们很难对其处理

并且若对其进行估值，也难以找到一个矛盾点。

这里使用类似(1988.IMO.6)(1988.IMO.6)无穷递降法的思想让我们找到落脚点。

设a22ab2−b3+1=k\frac{a^2}{2ab^2-b^3+1}=k

a2−2kb2a+b3k−k=0 a^2-2kb^2a+b^3k-k=0

由韦达定理:

a+a′=2kb2aa′=b3k−k \begin{aligned} & a+a'= 2kb^2 \\[0.5em] & aa'=b^3k-k \end{aligned}

首先a′=2kb2−a∈Za'=2kb^2-a\in \mathbb{Z}

不妨设a≥a′:a≥a':

那么2kb2≤2a2kb^2≤2a得到a≥b2ka≥b^2k

a′≤b3k−kb2k=b−1b2<b a'≤\frac{b^3k-k}{b^2k}=b-\frac{1}{b^2}<b

我们知道(a′,b)(a',b)是不定方程的另一组解：

2a′b2−b3+1∣a′2 2a'b^2-b^3+1|a'^2

所以b2>a′2≥2a′b2−b3+1=b2(2a′−b)+1b^2>a'^2≥2a'b^2-b^3+1=b^2(2a'-b)+1

所以2a′−b<12a'-b<1

而kk是一个正整数，所以2a′−b≥02a'-b≥0

(注：用韦达定理中a,a′a,a'的关系同样可得2a′−b≥0)2a'-b≥0)

那么2a′=b,2a'=b,设b=2lb=2l得:a=8l4−l,a′=l(b=2l):a=8l^4-l,a'=l(b=2l)

若a′=0:b=1,a=2la'=0:b=1,a=2l

综上(a,b)=(l,2l)(2l,1)(8l4−l,l),l∈N+(a,b)=(l,2l)(2l,1)(8l^4-l,l),l\in \mathbb{N^+}

本题直接硬解对计算能力要求极高，用韦达跳跃得到一定关系后再解不等式能够更加清晰简洁。

高中生自行整理，如有错误，欢迎指出。