1998.国际奥林匹克IMO.4数论

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认识你自己。

——古希腊哲学家 苏格拉底

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$(1998.IMO.4)$试确定使$ab^2+b+7$整除$a^2b+a+b$

的全部正整数对$(a,b)$

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若$ab^2+b+7|a^2b+a+b$

设$ab^2+b+7=k$

$$\begin{aligned} & a^2b+a+b\equiv 0 \mod{k} \\[0.5em] & ab^2+b+7\equiv 0 \mod{k} \\[0.5em] & b(a^2b+a+b)-a(ab^2+b+7)\equiv 0 \mod{k} \\[0.5em] & b^2-7a \equiv 0 \mod{k} \end{aligned}$$

所以$|b^2-7a|≥ab^2+b+7$

$(I)$若$b^2=7a:$

$ab^2+b+7|0$恒成立，而$7|b^2$，设$b=7k$

则$a=7k^2$

那么$(7k^2,7k),k\in \mathbb{Z}$为一组解。

$(II)$若$b^2≥7a+1:$

$b^2>b^2-7a≥ab^2+b+7>ab^2$矛盾。

$(III)$若$b^2≤7a-1:$

$$\begin{aligned} & 7a>7a-b^2≥ab^2+b+7>ab^2 \\[0.5em] & b^2<7 \end{aligned}$$

$∴b=1$或$2$

$b=1$时：

$$\begin{aligned} & a+8|a^2+a+1 \\[0.5em] & a+8|a+8 \\[0.5em] & ∴a+8|a^2+a+1-a(a+8)=1-7a \\[0.5em] & ∴a+8|7a-1 \end{aligned}$$

所以$a+8|7a-1-7(a+8)$

$$a+8|57=3×19$$

$∴a=11$或$49$

当$b=2$时：代入得矛盾

综上，符合得正整数对为$(7k^2,7k),(11,1)(49,1)$

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imo中的送分题，把a^2b消去再进行适当放缩即可。

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