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1994.IMO.4数论——对称性讨论与整除更紧的放缩。：原文配图

我思故我在。

——唯理论哲学家 笛卡尔

(1994.IMO.4)(1994.IMO.4)求出所有的有序正整数对(m,n),(m,n),

使得n3+1mn−1\frac{n^3+1}{mn-1}是一个整数。

此题技巧性比较高，

考虑对称性以及利用整除的性质来进行更紧凑的放缩。

命题转化为mn−1∣n3+1mn-1|n^3+1

mn−1∣m(n3+1)−n2(mn−1)=n2+m∴n2+m≡0mod  mn−1mn≡1mod  mn−1m2n≡mmod  mn−1m2n≡−n2mod  mn−1 \begin{aligned} & mn-1|m(n^3+1)-n^2(mn-1)=n^2+m \\[0.5em] & ∴n^2+m\equiv 0 \mod{mn-1} \\[0.5em] & mn\equiv 1\mod{mn-1} \\[0.5em] & m^2n\equiv m \mod{mn-1} \\[0.5em] & m^2n\equiv -n^2 \mod{mn-1} \end{aligned}

又(n,mn−1)=1(n,mn-1)=1

所以m2≡−nmod  mn−1m^2\equiv -n \mod{mn-1}

所以mn−1∣m2+nmn-1|m^2+n，恰好对称

不妨先讨论mn−1∣n2+mmn-1|n^2+m

(I).mn−1=m+n2n2+1n−1=m∈Z \begin{aligned} & (I).mn-1=m+n^2 \\[0.5em] & \frac{n^2+1}{n-1}=m\in \mathbb{Z} \end{aligned}

n−1∣n2+1n-1|n^2+1易得n=2n=2或3:3:

代入得(1,2)(2,2)(5,2)(1,3)(5,3)5(1,2)(2,2)(5,2)(1,3)(5,3)5组数组

(II).m+n2≥2(mn−1) (II).m+n^2≥2(mn-1)

解释一下，这里RHSRHS之所以乘以了一个22，

是因为整除中若被除数和除数不相等

且被除数不为00，那么显然被除数是除数的至少22倍。

这里两边对于m,nm,n来说都不是齐次式子，放缩较麻烦。

不妨设m≥n(m≥n(因为后面我们可以对称回来剩余解):

得到n2−n−2≤0,n^2-n-2≤0,得到n=1n=1或22

代入得到(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)

对于mn−1∣m2+nmn-1|m^2+n我们由对称性，

并且在第二步设n≥mn≥m可以得到完全对称的答案

综上(m,n)=(1,2)(2,2)(5,2)(1,3)(5,3)(2,1)(m,n)=(1,2)(2,2)(5,2)(1,3)(5,3)(2,1)

(3,1)(3,1)和它们的对称:(2,5)(3,5):(2,5)(3,5)共99组答案。

如果不使用对称性在一开头得到mn-1|m^2+n得到对称性的话，在(II)处讨论答案将十分吃力，巧用题目中的对称性可以抵消非常多的计算量。个人觉得此处的对称性处理技巧性十分的高，对数感要求很高。

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