1992.IMO.1数论整除问题与估值反证与不等式放缩。

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如无必要，勿增实体。

——中世纪经院哲学家 奥卡姆

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$(1992.IMO.1)$试求出所有的整数$a,b,c$，其中$1<a<b<c$

满足：$(a-1)(b-1)(c-1)$是$abc-1$的约数。

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设$(a-1),(b-1),(c-1)=x,y,z$

$$∴0<x<y<z$$

原命题即转化为$:xyz|xyz+x+y+z+xy+xz+yz$

即$xyz|x+y+z+xy+xz+yz$

$$∴x+y+z+xy+xz+yz≥xyz$$

注意到左边二次式，右边三次，易导出矛盾.

若$x≥3,y≥4,z≥5:$

则$\frac{x+y+z+xy+xz+yz}{xyz}≤\frac{59}{60}<1$矛盾

这个估值刚好，非常紧凑。

$$\begin{aligned} & ∴x≤2 \\[0.5em] & (I)x=1: \end{aligned}$$

原命题转化为：$yz|2(y+z)+1$

注意到左边为一次式，右边为二次式易导出矛盾

若$y≥5:$

$4z+1>2y+2z+1≥yz≥5z$，矛盾！

所以$y≤4$，得到了一个我们能够接受的计算量范围。

经检验$y=3$时成立，此时$z=7$。

$(II).$当$x=2$时：

$3y+3z+2≥yz$，同上原理，试图导出矛盾:

若$y≥7:$

$6z+2>3z+3y+2≥yz≥7z$矛盾！

$∴y≤6$，得到了一个我们可以接受的计算量范围。

经检验$y=4$时符合条件,此时$z=14$

综上，$(a,b,c)=(2,4,8)$或$(3,5,15)$

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比较纯粹放缩的数论题，重要的是敢于用反证法放缩条件的尝试，以及通过式子结构来估值的思想，较考验数感。

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