1988.IMO.6数论--无穷递降法

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        我们的情人不过是随便借个名字，用幻想吹出来的肥皂泡，把信拿去吧，你可以使假戏成真。我本来是无病呻吟，漫无目的的吐露爱情，现在这些漂泊不定的鸟儿有地方栖息了，你可以从信里看出来。拿去吧，由于不是出自真心，话就说得格外动听，拿去吧，就这么办！

——《西哈诺》

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$(IMO.1988.6)$已知$a,b\in \mathbb{N^+}$

证明:若$\frac{a^2+b^2}{ab+1}$是正整数，则亦为完全平方数

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设$\frac{a^2+b^2}{ab+1}=k$，假设$k$不为完全平方数，考虑反证：

假设$(a,b)$是方程的一个最小解$(a+b$的值最小)，那么

$$a^2+b^2=kab+k$$

于是化简为以$a$为主元的二次函数得:

$$a^2-bka+b^2-k=0$$

用韦达定理可得：

$$\begin{aligned} & a+a'=bk \\[0.5em] & aa'=b^2-k \end{aligned}$$

不妨设$a≥b$

则$a'=bk-a\in\mathbb Z$

又$a'b\geq0$且$b > 0$

所以$a'\geq 0$

$$a'=\frac{b^2-k}{a}$$

因为$k$不为完全平方数，所以$b^2-k≠0$

所以$a'≠0$

即$a'>0$

又$a'=\frac{b^2-k}{a}≤b-\frac{k}{b}<b$

所以$a'<b$

那么$(a',b)$是比$(a,b)$更小的解，与$(a,b)$的最小性矛盾。

故$k=\frac{a^2+b^2}{ab+1}$为完全平方数

证毕。

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经典的无穷递降法，关键在于是否能够借助k不为完全平方数的性质，让希望构造出来的更小解不为0，而可以在不等于0的情况下，让方程的解无限变小，从而产生矛盾。

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