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1987.国际奥林匹克IMO.6数论——素数与合数证明问题。：原文配图

每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。

——《查拉图斯特拉如是说》尼采

(1987.IMO.2)(1987.IMO.2)已知正整数n≥2n≥2，且对于整数kk

0≤k≤n3,k2+k+n0≤k≤\sqrt[]{\frac{n}{3} },k^2+k+n都是素数。

证明:对于整数k,0≤k≤n−2k,0≤k≤n-2，k2+k+nk^2+k+n也是素数。

考虑反证法：若存在m,m≤n−2m,m≤n-2

使存在素数p,p∣m2+m+n,p,p|m^2+m+n,且m,pm,p为其中最小的数。

∴m2+m+n≥p2 ∴m^2+m+n≥p^2

p∣(m−p)2+(m−p)+np|(m-p)^2+(m-p)+n，若m≥p:m≥p:

则(m−p)(m-p)显然为更小的解，与mm最小性矛盾。

∴m≤p−1p∣(p−1−m)2+(p−1−m)+n \begin{aligned} & ∴m≤p-1 \\[0.5em] & p|(p-1-m)^2+(p-1-m)+n \end{aligned}

∵m∵m是最小解

∴p−m−1≥m∴p≥2m+1 \begin{aligned} & ∴p-m-1≥m \\[0.5em] & ∴p≥2m+1 \end{aligned}

代入回m2+m+n≥p2m^2+m+n≥p^2：

4m2+4m+1≤m2+m+n: 4m^2+4m+1≤m^2+m+n:

n+3m+1<3m2+3m+1≤nn+3m+1<3m^2+3m+1≤n矛盾！

故k2+k+nk^2+k+n也是素数。

重点是能判断m^2+m+n≥p^2这一步放缩，使不等式更加紧凑容易导出矛盾。

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