1984年国际奥林匹克IMO第2题数论整除问题

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一切确定的皆否定。

——唯理论哲学家 斯宾诺莎

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$(1984.IMO.2)$求一对正整数$a,b$，满足：

$1.ab(a+b)$不被$7$整除

$2.(a+b)^7-a^7-b^7$被$7^7$整除

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$(a+b)^7-a^7-b^7$为一个复杂的高次和式

考虑因式分解为乘式：

原式$=7ab(a+b)(a^2+b^2+ab)^2$

若$7^7|7ab(a+b)(a^2+b^2+ab)^2$

$∵7$不整除$ab(a+b)$，故$7^6|(a^2+b^2+ab)^2$

即$7^3|(a^2+b^2+ab)$

考虑题目仅仅是求一对符合条件的解。

不妨取$b=1:$

$$7^3|a^2+a+1$$

取$a=7k+4$

则满足$7|49k^2+63k+21$且

$$7^2|49k^2+63k+21$$

即$7|7k^2+9k+3$

降次到了一个可以接受计算量的程度。

得到$k=2$

考虑$7^3|49k^2+63k+21:$

代入$k=2$，原整除式成立

所以$(a,b)=(18,1)$为一个符合条件的答案。

解完。

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题目思维没什么深度，但是计算量庞大，比较考验人的估算能力和化简能力，考虑到题目仅要求一个答案，那么我们所要做的，仅仅只是尝试。

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