（1979.IMO.1)数论

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    本体是表象之表象。

——黑格尔《精神现象学》

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设$p$和$q$为正整数，满足：

$$\frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}$$

求证：$p$可被$1979$整除。

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我们容易发现：

$$\begin{aligned} & \frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-...-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319} \\[0.5em] & =(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1319})-2×(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1318}) \\[0.5em] & =(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1319})-(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{659}) \\[0.5em] & =\frac{1}{660}+\frac{1}{661}+...+\frac{1}{1319} \end{aligned}$$

此时不难发现$,660+1319=1979$，即我们想要的目标。

我们首尾相配对:

原式$=(\frac{1}{660}+\frac{1}{1319})+(\frac{1}{661}+\frac{1}{1318})+...+(\frac{1}{989}+\frac{1}{990}$

$$=1979(\frac{1}{660×1319}+\frac{1}{661×1318}+...+\frac{1}{989×990})$$

两边同时乘以$1319!q$得：

$1319!p=1979qN ($其中$N$为一个整数)

又$1979$是素数，所以$(1319!,1979)=1$

所以$p\equiv 0 (mod 1979)$也就是$1979$整除$p$

命题得证。

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本题属于较简单的数论整除题，只需要注意到原分式的化简形式和1979和1319!互素即可快速求证。

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